Prof. Dr. Walter Gubler
Forschungsinteressen
Mein Schwerpunkt liegt in der arithmetischen algebraischen Geometrie. Ich habe in meinen Arbeiten systematisch die Höhen von Untervarietäten studiert. Das ist ein arithmetischer Grad, den Faltings eingeführt hat, um die Verallgemeinerung der Mordell-Vermutung für Untervarietäten von abelschen Varietäten zu beweisen. Ich habe dabei arithmetische Schnitttheorie und Methoden aus der formellen und rigiden Geometrie benutzt.
Die Bogomolovvermutung beschreibt die Untervarietäten einer abelschen Varietät der Höhe 0. Sie kann auch als Ausssage über die Gleichverteilung von Punkten kleiner Höhe aufgefasst werden. Diese zentrale Aussage wurde 1998 von Zhang im Zahlkörperfall bewiesen. Überraschenderweise bleibt der Funktionenkörperfall immer noch offen, bewiesen wurde die Behauptung bis vor kurzem nur für ein paar Kurven.
In zwei neuen Arbeiten ist es mir gelungen, die Bogomolovvermutung für total degenerierte abelsche Varietäten zu beweisen. Dabei habe ich Zhang's analytische Methoden durch tropische analytische Geometrie ersetzt. Letztere habe ich als Verallgemeinerung der tropischen algebraischen Geometrie für analytische Räume entwickelt.
Ich will in meiner Forschung diese Methoden weiterentwickeln um die Bogomolovvermutung für alle abelschen Varietäten über einem Funktionenkörper zu beweisen. Mein Ziel ist es mit differentialgeometrischen Methoden die endlichen Stellen analog zu den archimedischen Stellen zu behandeln. Das ist ein alter Wunsch in der Arakelovgeometrie und ist auch für andere Probleme in der arithmetischen algebraischen Geometrie interessant. Dazu habe ich das DFG-Projekt "p-adische Arakelov-Geometrie", in dem mir eine Mitarbeiterstelle für meinen Doktoranden finanziert wird.
Eine zentrale Rolle in der Zahlentheorie spielt die abc-Vermutung, welche viele offene Fragen beantworten würde. Das Analogon für Funktionenkörper ist bekannt nach Mason und Stothers. Um die abc-Vermutung geometrisch zu verstehen, muss man sie mit der Vojtaschen Höhenungleichung interpretieren. Letztere ist auch im Funktionenkörperfall offen und ist ein weiterer Forschungsschwerpunkt.
Man kann die verfeinerte Schnitttheorie mit Divisoren aus meiner Habilitationsschrift als Prototyp für eine verfeinerte arithmetische Schnitttheorie ansehen. Mein Ziel ist es so eine Schnitttheorie mit Träger zu entwickeln. Die Probleme stammen hier aus der komplexen Analysis, gesucht ist ein verfeinertes Sternprodukt von Greenschen Strömen. An den endlichen Stellen steht die verfeinerte Schnitttheorie von Fulton aus der algebraischen Geometrie zur Verfügung.
Mit Jürg Kramer aus Berlin arbeite ich an einer Schnitttheorie direkt auf log-glatten Modellen. Das ist ein reines Problem aus der algebraischen Geometrie und soll dazu dienen, in der arithmetischen Schnitttheorie auf die lästigen rationalen Koeffizienten zu verzichten. Das scheint auch deshalb vielversprechend, weil die Greenschen Ströme an den unendlichen Stellen von gewisser logarithmischer Form sind.
Bei der Transzendenz von Werten hypergeometrischer Funktionen habe ich einen wesentlichen Fehler im Satz von Wolfart gefunden. Diesen Satz versteht man am Besten als Spezialfall der André-Oort Vermutung, die auch zu meinen Forschungsinteressen gehört.
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